Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標(biāo)為（2，0），拋物線的對稱軸x=-1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形BOCF的面積最大，若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得F點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A、B關(guān)于對稱軸對稱，A點坐標(biāo)為（2，0），得
B（-4，0）．
將A、B、C點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）如圖1，
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B、C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=x+4．
G在BC上，D在拋物線上，得
G（m，m+4），F(xiàn)（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）．
FG=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（m+4）=-$\frac{1}{2}$m²-2m．
S_{四邊形BOCF}=S_△BOC+S_△BCF=$\frac{1}{2}$BO•OC+$\frac{1}{2}$FG•BO
=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²-2m）
=8+2[-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2]
當(dāng)m=-2時，四邊形BOCF的面積最大是12，
當(dāng)m=-2時，-$\frac{1}{2}$m²-m+4=4，即F（-2，4）；
（3）如圖2，
當(dāng)x=-1時，y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=$\frac{9}{2}$，即D（-1，$\frac{9}{2}$）
y=x+4=3，即E（-1，3）．
DE=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$．
P在直線BC上，Q在拋物線上，得
P（m，m+4），Q（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）．
PQ=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（m+4）=-$\frac{1}{2}$m²-2m．
由以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，得
DE=PQ，即-$\frac{1}{2}$m²-2m=$\frac{3}{2}$，
解得m=-1（不符合題意，舍），m=-3．
當(dāng)m=-3時，y=m+4=1，
即P（-3，1）．
以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)（-3，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱得出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的對邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．