Question

一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，把Rt△DEF的直角頂點放在點D處，
DE與AC交于點M，DF與BC交于點N（如圖1）．
（1）求證：DM=DN；
（2）把Rt△DEF繞點D旋轉，與AC、CB的延長線交于點M、N（如圖2），試問：DM=DN成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件得出DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，則DW=DH，進而利用ASA得出△DWM≌△DHN，即可得出答案；
（2）利用已知條件得出DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，則DW=DH，進而利用ASA得出△DWM≌△DHN，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1所示：
過點D作DW⊥AC于點W，過點D作DH⊥BC于點H，
由題意可得出：AC=BC，∠ACB=90°，
∵D為AB中點，DW⊥AC，DH⊥BC，
∴DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，
∴DW=DH，
∵∠DWC=∠ACB=∠DHC=90°，
∴∠WDH=90°，
∴∠WDN+∠HDN=90°，
∵∠MDW+∠WDH=90°，
∴∠MDW=∠NDH，
在△DWM和△DHN中

∠MWD=∠NHD WD=DH ∠WDM=∠HDN

，
∴△DWM≌△DHN（ASA），
∴DM=DN；

（2）DM=DN成立．
理由：如圖2所示：
過點D作DW⊥AC于點W，過點D作DH⊥BC于點H，
由題意可得出：AC=BC，∠ACB=90°，
∵D為AB中點，DW⊥AC，DH⊥BC，
∴DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，
∴DW=DH，
∵∠DWC=∠ACB=∠DHC=90°，
∴∠WDH=90°，
∴∠WDM+∠HDM=90°，
∵∠NDH+∠HDM=90°，
∴∠MDW=∠NDH，
在△DWM和△DHN中

∠MWD=∠NHD WD=DH ∠WDM=∠HDN

，
∴△DWM≌△DHN（ASA），
∴DM=DN．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，根據(jù)已知得出∠MDW=∠NDH是解題關鍵．