Question

如圖，拋物線y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0）的頂點為A，另一條拋物線y=ax²+n（a＜0）的頂點為B，與x軸正半軸交于點C，已知點P（1，3）在線段AB上（點P與點A、B不重合）．
（1）求頂點B的坐標；
（2）當點P恰好為AB的中點，且由A、B、C三點構成的三角形為等腰三角形時，求a的值？

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0），
∴y=（x-m）²+2m+1，
∴頂點A的坐標是（m，2m+1），
設直線AB的解析式是y=kx+b，
∵直線過A、P，把A、P的坐標代入得：，
∵m≠1，
∴k=2，b=1，
∴直線AB的解析式是y=2x+1，
∴B的坐標是（0，1），
答：頂點B的坐標是（0，1）．

（2）解：設C的坐標是（x，0），
當點P恰好是AB的中點時，可得A的坐標是（2，5），
∵B的坐標是（0，1），
∴n=1，
即y=ax²+1，
當△ABC是等腰三角形時，分以下三種情況：
①若AB=AC=2，
∵AC²=（x-2）²+25，不成立舍去，
②若AB=BC=2，
∵BC²=1+x²，
∵x＞0，
∴x=，
∴C的坐標是（，0），
代入y=ax²+1（a＜0）得：a=-，
③若AC=BC，
∵AC²=BC²，
（x-2）²+25=1+x²，
∵x＞0，
∴x=7，
∴C的坐標是（7，0），
代入求出a=-，
綜合上述滿足條件的a有-、-兩個，
答：a的值是-，-．
分析：（1）設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、P的坐標代入k和b，即可求出答案；
（2）設C的坐標是（x，0），當點P恰好是AB的中點時求出A的坐標和n，得出y=ax²+1，分三種情況①若AB=AC=2，②若AB=BC=2，③若AC=BC，根據(jù)勾股定理求出x，得出C的坐標，代入解析式即可求出a．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰三角形的性質，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．