Question

已知關(guān)于x的方程

x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0……①

的兩個不相等實數(shù)根中有一個根為0．是否存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程

x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0……②

的兩個實數(shù)根x₁，x₂之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵方程①有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=[－2(m＋1)]2－4(m2－2m－3)=16m＋16＞0． 　　解得m＞一1．又∵方程①有一個根為0，∴m2－2m－3m=0，即(m－3)(m＋1)=0． 　　解得m1=－1，m2=3．又∵m＞－1，∴m1=－1應(yīng)舍去． 　　∴m=3．當(dāng)=3時，方程②變形為x2－(k－3)x－k+4=0． 　　∵x1，x2是方程②的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=k－3，x1x2=k+4． 　　若|x1－x2|=1，則有(x1＋x2)2－4x1x2=1． 　　∴(k－3)2－4(－k＋4)=1，即k2－2k－8=0，(k－4)(k＋2)=0． 　　∴k1=－2，k2=4． 　　∵當(dāng)k=－2時，△=[－(k－3)]2－4(－k＋4)=k2－2k－7=(－2)2－2×(－2)－7=1＞0． 　　此時，方程②為x2+5x＋6=0，即x1=－3，x2=－2． 　　滿足條件；當(dāng)k=4時，△=k2－2k－7=42－2×4－7=1＞0． 　　此時，方程②為x2－x=0，x1=0，x2=1．也滿足條件． 　　∴k=－2或4．∴存在實數(shù)k=－2或4，使得方程②的兩個實數(shù)根之差的絕對值為1．