Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD．直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系，若拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D，且B為拋物線的頂點(diǎn)．
①寫(xiě)出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）______．
②求拋物線的解析式．
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過(guò)點(diǎn)P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：①首先求得對(duì)稱(chēng)軸，即是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，問(wèn)題得以解決；
②由△OAD∽△CDB，得出對(duì)應(yīng)線段的比相同求得a的值即可；
③利用三角形相似，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及連點(diǎn)之間的距離解答即可．
解答：解：①函數(shù)y=ax²-2ax-3a的對(duì)稱(chēng)軸x=1，代入解析式可得y=-4a，
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4a）；
故答案為（1，-4a）；

②∵∠BCD=∠AOD=90°，
∠CBD+∠BDC=∠ADO+∠BDC=90°，
即∠CBD=∠ADO，
∴△OAD∽△CDB，
∴，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

③存在，設(shè)P（x，-x²+2x+3），
∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，
∴PN=AN，當(dāng)x＜0（x＜-1）時(shí)，
-x+3=-（-x²+2x+3），
x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5），
當(dāng)x＞0（x＞3）時(shí)，
x-3=-（-x²+2x+3），
x₁=0，x₂=3（都不合題意舍去），
符合條件的點(diǎn)P為（-2，-5）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形相似的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是一道較好的題目．