Question

12．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．
（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△BPC為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；
（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（-1，t），可得BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3，
∵對稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最�。�
把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（-1，2）；

（3）存在．
設(shè)P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC²+PB²=PC²即：18+4+t²=t²-6t+10解之得：t=-2；
②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC²+PC²=PB²即：18+t²-6t+10=4+t²解之得：t=4，
③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB²+PC²=BC²即：4+t²+t²-6t+10=18解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．