Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C，其中B′點正好落在邊AB上，A′B′交于點D，則$\frac{B′D}{CD}$的值為$\frac{7}{20}$．

Answer 1

分析 要求$\frac{B′D}{CD}$的值，只要說明△ADB′與△A′DC相似即可，然后根據(jù)題意可以求得AB′與A′C的比值即可，可以根據(jù)cosB=$\frac{3}{5}$，設(shè)出BC=3a，從而可以用含a的式子表示出AB′與A′C的比值，本題得以解決．

解答 解：作CE⊥AB于點E，如下圖所示，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{BC}{AB}$，
∴設(shè)BC=3a，AB=5a，
∴AC=$\sqrt{（5a）^{2}-（3a）^{2}}=4a$，
又∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C，
∴A′C=AC=4a，CB=CB′，
∵CE⊥AB，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴BE=B′E，$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{3a}=cosB=\frac{3}{5}$，
∴B′E=BE=$\frac{9a}{5}$，
∴AB′=AB-BE-B′E=5a-$\frac{9a}{5}-\frac{9a}{5}$=$\frac{7a}{5}$，
∵∠A=∠A′，∠ADB′=∠A′DC，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴$\frac{B′D}{CD}=\frac{AB′}{A′C}=\frac{\frac{7a}{5}}{4a}=\frac{7}{20}$．
故答案為：$\frac{7}{20}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)后圖形與旋轉(zhuǎn)前圖形的對應(yīng)關(guān)系，找出所求問題需要的條件．