Question

【題目】我們定義：如圖，在△中，把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是△的“旋補(bǔ)三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)叫做“旋補(bǔ)中心”．

⑴ 特例感知：在如圖、如圖中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”.

① 如圖，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為＝ ；

② 如圖，當(dāng)，時(shí)，則長為 .

⑵ 精確作圖：如圖，已知在四邊形內(nèi)部存在點(diǎn)，使得是的“旋補(bǔ)三角形”（點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B），請用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

⑶ 猜想論證：在如圖中，當(dāng)△為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

Answer 1

【答案】⑴ ① ② 4；⑵ 作圖見解析；⑶ ；見解析.

【解析】

（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得,即可解決問題；
②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）作線段AD、BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
（3）結(jié)論：．如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′M，即可解決問題；

⑴ ①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為；

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

∵DB′=DC′，

∴AD⊥B′C′，

∵

∴

∴

∴

故答案為: .

②如圖3,當(dāng)，BC=8時(shí)，則AD長為4.

理由：∵

∴

∵AB=AB′,AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴

故答案為:4.

⑵如圖所示：（作線段AD、BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P）

∴點(diǎn)P即為所求.

⑶

證明：理由：如圖1中,延長AD到M,使得AD=DM,連接E′M,C′M

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，

∴AC′=B′M=AC，

∵

∴∠BAC=∠MB′A,

∵AB=AB′，

∴△BAC≌△AB′M，

∴BC=AM，

∴