Question

8．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O，交BC于點(diǎn)D，且BD=CD，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE．
（1）如圖1，求證：∠CAB=2∠CBE；
（2）如圖2，過D作DF⊥AB于F，求證：BE=2DF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，在∠BDF的內(nèi)部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分別交AB、BE于點(diǎn)N、G，交⊙O于點(diǎn)M，若DF=$\sqrt{2}$BN=2$\sqrt{3}$，求MG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，推出AD垂直平分BC，AB=AC，得到AD平分∠BAC，即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)DF交⊙O于K，連接DE，由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，于是得到DE=$\frac{1}{2}$BC，推出DF=FK，BK=BD，求得DK=2DF，BK=DE，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）連接AD，連接ED，由BE=2DF，DF=2$\sqrt{3}$，得到BE=4$\sqrt{3}$，求得BN=$\sqrt{6}$，推出△DAE≌△DNB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=NB=$\sqrt{6}$，解直角三角形求得CE=AC+AE=4$\sqrt{6}$，過G作GH⊥BD于H，則在Rt△GHD中，tan∠GDH=$\frac{GH}{DH}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，設(shè)GH=$\sqrt{2}$a，DH=4a，于是得到tan∠GBH=$\frac{GH}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}a}{BH}$=$\sqrt{2}$，推出DH=$\frac{24}{5}$，GH=$\frac{6}{5}$$\sqrt{2}$，由勾股定理得到D=$\frac{18}{5}$$\sqrt{2}$，連接BM，推出△GDB∽△BDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{DM}=\frac{DG}{DB}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE，

（2）證明：延長(zhǎng)DF交⊙O于K，連接DE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵BD=CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=BD=CD，
∴DE=DB，
∵AB⊥DK，且AB為⊙O的直徑，
∴DF=FK，BK=BD，
∴DK=2DF，BK=DE，
∴BK+EK=DE+EK，
∴DK=BE，
∴DK=BE，
∴BE=2DF，

（3）解：連接AD，連接ED，
∵BE=2DF，DF=2$\sqrt{3}$，
∴BE=4$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{2}$BN=2$\sqrt{3}$，
∴BN=$\sqrt{6}$，
∵∠BDM=∠ABE∠ADE=∠ABE，
∴∠ADE=∠BDM，
在△DAE與△DNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDM}\\{DE=DB}\\{∠AED=∠DBN}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DNB，
∴AE=NB=$\sqrt{6}$，
在Rt△AEB中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴AC=AB=3$\sqrt{6}$，tan∠BDG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴CE=AC+AE=4$\sqrt{6}$，
在Rt△CEB中，tan∠CBE=$\frac{CE}{BE}=\frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$，
過G作GH⊥BD于H，則在Rt△GHD中，tan∠GDH=$\frac{GH}{DH}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
設(shè)GH=$\sqrt{2}$a，DH=4a，
∴在Rt△GHB中，tan∠GBH=$\frac{GH}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}a}{BH}$=$\sqrt{2}$，
∴BH=a，
∴BD=BH+DH=a+4a=6，
∴a=$\frac{6}{5}$，
∴DH=$\frac{24}{5}$，GH=$\frac{6}{5}$$\sqrt{2}$，
在Rt△DHG中，DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{6\sqrt{2}}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$$\sqrt{2}$，
連接BM，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∵∠DEB=∠M，
∴∠DBG=∠M，
∵∠GDB=∠BDM，
∴△GDB∽△BDM，
∴$\frac{BD}{DM}=\frac{DG}{DB}$，即$\frac{6}{DM}=\frac{\frac{18}{5}\sqrt{2}}{6}$，
∴DM=5$\sqrt{2}$，
∴MG=DM-DG=$\frac{7}{5}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．