Question

【題目】數(shù)學(xué)課堂上老師對(duì)一道課外作業(yè)進(jìn)行了延拓，請(qǐng)同學(xué)們解答下列問(wèn)題：

（1）如圖1：∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，AB＝6，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE，則BP與QE的數(shù)量關(guān)系是：BP　 QE．

（2）如圖2：在（1）的條件下，延長(zhǎng)QE交射線BC于點(diǎn)F，若設(shè)BP＝x，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）如圖3：在（1）的條件中，如果改點(diǎn)P為直線BC上的任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件均不變，請(qǐng)?zhí)骄?/span>AP在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABQ周長(zhǎng)是否存在最小值，如果有，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）y＝x+3（x＞0）；（3）存在，△ABQ周長(zhǎng)最小值為18+6．

【解析】

（1）由“SAS”可證△ABP≌△AEQ，可得BP=QE；
（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，由（1）可知△ABP≌△AEQ，可得∠AEQ=∠ABP=90°，由直角三角形的性質(zhì)可求EF=6，可得QF=QE+EF=x+6，由直角三角形的性質(zhì)可求解；
（3）先確定點(diǎn)Q的位置，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)E且垂直于AE的直線上運(yùn)動(dòng)，由三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)Q在BN上時(shí)，△ABQ周長(zhǎng)有最小值，即可求解．

（1）∵將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝∠PAQ＝60°，

∴∠BAP＝∠EAQ，且AP＝AQ，AB＝AE，

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴BP＝QE，

故答案為：＝；

（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H．

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE＝AB＝6．

由（1）可知△ABP≌△AEQ，

∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，且∠AEB＝60°，

∴∠BEF＝30°，

∴∠EBF＝∠BEF＝30°，

∴BF＝EF，

∵FG⊥BE，

∴BG＝＝3，

∵∠EBF＝30°，

∴BF＝2GF，BG＝GF，

∴GF＝3，BF＝6，

∴EF＝6，

∵QE＝BP＝x，

則QF＝QE+EF＝x+6，

在Rt△QHF中，∠QFH＝60°，

∴∠FQH＝30°，

∴FH＝QF，

∴y＝QH＝FH＝（x+6）．（x＞0）

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：y＝x+3（x＞0）

（3）由（1）可知：△ABP≌△AEQ，

∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，

∴點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)E且垂直于AE的直線上運(yùn)動(dòng)，

如圖3，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)N，連接AF，QN，

∵∠ABC＝90°，∠BAN＝60°，

∴∠ANB＝30°，

∴AN＝2AB＝12，且AE＝AB＝6，

∴EN＝AN﹣AE＝6，

∴AE＝EN，且EF⊥AN，

∴AQ＝QN，

∵△ABQ周長(zhǎng)＝AB+AQ+BQ＝6+BQ+QN≥6+BN，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在BN上時(shí)，△ABQ周長(zhǎng)有最小值，

∵BN＝AB＝18，

∴△ABQ周長(zhǎng)最小值＝18+6．