Question

11．已知，在△ABC中，CA=CB=10cm，O為AB的中點(diǎn)，E、F分別在直線AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）若∠A=45°．
①如圖（1），連接OC，當(dāng)E、F分別在線段AC、BC上時(shí)，求證：△COE≌△BOF；
②如圖（2），當(dāng)E、F分別在AC延長線上和CB延長線上時(shí)，求CF-CE的值；
（2）如圖（3），若∠A=30°，且E、F分別在AC延長線上和線段BC上，試說明CF與CE滿足怎樣的關(guān)系式．（提示：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）

Answer 1

分析 （1）要證明△COE≌△BOF只要證明：CO=BO，∠EOC=∠FOB，∠ECO=∠B=45°即可．
（2）因?yàn)镃F=CB+BF，所以要求CF-CE，只要證明CE=BF就可以了；
（3）利用四點(diǎn)共圓得到：△OEF是等邊三角形，接下來只要證明CF-CE=CA，再利用直角三角形30度角的性質(zhì)解決．

解答 （1）證明：連接CO．
∵CA=CB，∠A=45°
∴∠A=∠B=45°，∠ACB=90°，
∵AO=OB，
∴OC=OA=OB，∠ACO=∠BCO=45°，CO⊥AB，
∵∠EOF=2∠A=90°，∠COB=90°，
∴∠EOF=∠COB，
∴∠EOC=∠BOF，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠B}\\{CO=OB}\\{∠EOC=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB．
（2）如圖2中，連接CO，∵∠ACO=∠ABC=45°，
∴∠ECO=∠OBF=135°，
∵∠COB=∠EOF=90°，
∴∠COE=∠BOF，
在△EOC和△FOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠B}\\{CO=OB}\\{∠EOC=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB．
∴EC=BF，
∴CF-EC=BC+BF-EC=BC=10cm．
（3）在CF上截取CM=CO，連接OM．
∵CA=CB，∠A=30°，
∴∠A=∠B=30°，∠ACB=120°，
∵AO=OB，
∴∠ACO=∠BCO=60°
∴∠ECB=180°-∠ACB=60°，
∵∠EOF=2∠A=60°，
∴∠ECF=∠EOF，
∴E、C、O、F四點(diǎn)共圓，
∴∠OEF=∠OCB=60°，
∴△OEF是等邊三角形，
∴OE=OF，
∵OC=CM，∠OCM=60°，
∴△COM是等邊三角形，
∴∠COM=60°=∠EOF，OC=OM=CM，
∴∠COE=∠MOF，
在△COE和△MOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=OM}\\{∠COE=∠MOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△MOF，
∴CE=MF，
∴CF-CE=CM+MF-CE=CM=CO，
在RT△ACO中．∵AC=10，∠A=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴CF-CE=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、以及四點(diǎn)共圓等知識(shí)，第三個(gè)問題中，利用四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．