Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，PE為點(diǎn)P到直線BC的距離，則PA+PD+PE的最小值為6+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如以AP、AE為邊向左邊作等邊三角形△APN，△AEF，延長(zhǎng)EP交AD于H，由△FAN≌△EAP，得到PE=FN，所以PA+PD+PE=PD+PN+FN，所以當(dāng)F、N、P、D共線時(shí)，PA+PN+PD最短，分別求出DN、FN即可解決問題．

解答 解：如圖以AP、AE為邊向左邊作等邊三角形△APN，△AEF，延長(zhǎng)EP交AD于H，
∵∠FAE=∠NAP，
∴∠FAN=∠EAP，
在△FAN和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠FAN=∠EAP}\\{AN=AP}\end{array}\right.$，
∴△FAN≌△EAP，
∴PE=FN，
∴PA+PD+PE=PD+PN+FN，
∴當(dāng)F、N、P、D共線時(shí)，PA+PN+PD最短，此時(shí)∠APD=∠ANF=∠APE=∠DPE=120°，∠PAD=∠PDA=30°，
在RT△ADN中，∵AD=8，∠ADN=30°，
∴AN=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，DN=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，PH=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PE=6-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴PA+PD+PE的最小值=DN+FN=DN+PE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$+6-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=6+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造全等三角形把線段PD、PA、PE拼在一起，共線時(shí)線段最短，題目難度比較大．