Question

如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，BC′交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：AG=C′G；
（2）如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)證明△GAB≌△GC′D即可證得線(xiàn)段AG、C′G相等；
（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的長(zhǎng)，則EN-MN=EM的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，
∴∠A=∠C′，AB=C′D
∴在△GAB與△GC′D中，

∴△GAB≌△GC′D
∴AG=C′G；

（2）解：∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，
∴DM=4cm，ND=5cm，
∵AD=8cm，AB=6cm，
在Rt△ABD中，BD==10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴DN=BD=5cm，
在Rt△MND中，
∴MN==3（cm），
由折疊的性質(zhì)可知∠NDE=∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END=∠NDC，
∴∠END=∠NDC=∠NDE，
∴EN=ED，設(shè)EM=x，則ED=EN=x+3，
由勾股定理得ED²=EM²+DM²，即（x+3）²=x²+4²，
解得x=，即EM=cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等．同時(shí)考查了勾股定理在折疊問(wèn)題中的運(yùn)用．