Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100臺需要投入2500元，對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后，得知市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500臺，且銷售收入可看作是函數(shù)y=500x-

1

2

x2，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500，已知此機(jī)器重要部件更新?lián)Q代快，若造成積壓，第二年無法賣出或無利可圖．
（1）分別寫出當(dāng)0≤x≤500及x＞500時利潤w與年產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你運(yùn)用函數(shù)知識，為該廠廠長設(shè)計一個最佳的生產(chǎn)計劃，并求出由此計劃獲得的最大年利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識．當(dāng)0≤x≤500時，w=500x-

1

2

x2-（5000+25x）；
當(dāng)x＞500時，w=500×500-

1

2

-500²；
（2）用配方法化簡解析式，求出最大值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤500時，產(chǎn)品全部售出
∴W=500x-

1

2

x2-(5000+25x)
即W=-

1

2

x2+475x-5000（2分）
當(dāng)x＞500時，產(chǎn)品只能售出500臺
∴W=500×500-

1

2

×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）

（2）當(dāng)0≤x≤500時，W=-

1

2

(x-475)2+107812.5（6分）
當(dāng)x＞500時，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺時取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產(chǎn)計劃475臺．（10分）

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，用配方法可求出最大值．