Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線的對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M.

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式和對(duì)稱軸；

（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線（x>5）上的一點(diǎn)，若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），對(duì)稱軸為x=3（2）（6，4）（3）存在，N（，－3）

【解析】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），C（5，0），∴設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為。

      又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），∴，解得。

      ∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，即。

      又∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=3。

（2）（6，4）。

（3）存在�！鱊AC的面積最大，即點(diǎn)N距AC的距離最大，此時(shí)點(diǎn)N在直線AC下方的拋物線上，過點(diǎn)N與直線AC平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

    設(shè)直線AC：，則，解得�！嘀本�AC：。

    設(shè)過點(diǎn)N與直線AC平行的直線為。

    由整理得。

    ∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

    ∴，解得。

   ∴，解得。

當(dāng)時(shí)，。∴N（，－3）。

∴在直線AC下方的拋物線上存在一點(diǎn)N（，－3），使△NAC的面積最大。

（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），用待定系數(shù)法可求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式（或用公式）可求拋物線的對(duì)稱軸。

       （2）由A（0，4）和對(duì)稱軸x=3知OA=4，OM=3。

            由點(diǎn)P為拋物線（x>5）上的一點(diǎn)，知PA＞PM＞2。

            ∴由以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，只能是PA=6，PM=5。由二次函數(shù)的軸對(duì)稱性和勾股定理，知點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱�！郟（6，4）。

 （3）△NAC的面積最大，即點(diǎn)N距AC的距離最大，此時(shí)點(diǎn)N在直線AC下方的拋物線上，過點(diǎn)N與直線AC平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。應(yīng)用一元二次方程根的判別式即可求解。