Question

已知拋物線拋物線y _n=-(x-a_n)²+a_n（n為正整數(shù)，且0<a₁<a₂<…<a_n）與x軸的交點為A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，當(dāng)n=1時，第1條拋物線y₁=-(x-a₁)²+a₁與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此類推．

（1）求a₁,b₁的值及拋物線y₂的解析式；

（2）拋物線y₃的頂點坐標(biāo)為（     ，     ）；

     依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標(biāo)為（       ，      ）;

     所有拋物線的頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系是                  ；

（3）探究下列結(jié)論：

     ①若用A_n-1A_n表示第n條拋物線被x軸截得得線段長，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；

②是否存在經(jīng)過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得得線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵y₁=—(x—a₁)²+a₁與x軸交于點A₀（0，0），

∴—a₁²+ a₁=0，∴a₁=0或1．

由已知可知a₁>0，

∴a₁=1．

即y₁=—(x—1)²+1

方法一：令y₁=0代入得：—(x—1)²+1=0，

∴x₁=0，x₂=2，

∴y₁與x軸交于A₀（0，0），A₁（2，0）

∴b₁=2，

方法二：∵y₁=—(x—a₁)²+a₁與x軸交于點A₀（0，0），

        ∴—(b₁—1)²+1=0，b₁=2或0，b­₁=0（舍去）．

∴b₁=2．

又∵拋物線y₂=—(x—a₂)²+a₂與x軸交于點A₁（2，0），

∴—(2—a₂)²+ a₂=0，

∴a₂=1或4，∵a₂> a₁，∴a₂=1（舍去）．

∴取a₂=4，拋物線y₂=—(x—4)²+4．

（2）（9，9）；

（n²，n²）

y=x．

詳解如下：

∵拋物線y₂=—(x—4)²+4令y₂=0代入得：—(x—4)²+4=0，

∴x₁=2，x₂=6．

∴y₂與x軸交于點A₁（2，0），A₂（6，0）．

又∵拋物線y₃=—(x—a₃)²+a₃與x軸交于A₂（6，0），

∴—(6—a₃)²+a₃=0

∴a₃=4或9，∵a₃> a₃，∴a₃=4（舍去），

即a₃=9，∴拋物線y₃的頂點坐標(biāo)為（9，9）．

由拋物線y₁的頂點坐標(biāo)為（1，1），y₂的頂點坐標(biāo)為（4，4），y₃的頂點坐標(biāo)為（9，9），依次類推拋物線y_n的頂點坐標(biāo)為（n²，n²）．

∵所有拋物線的頂點的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，

∴頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y= x；

③∵A₀（0，0），A₁（2，0），

∴A₀ A₁=2．

又∵y_n=—(x—n²)²+n²，

令y_n=0，

∴—(x—n²)²+n²=0，

即x₁=n²+n，x₂=n²－n，

∴A _n－1(n²－n，0)，A _n(n²+n，0)，即A _n－1 A _n=( n²+n)－( n²－n)=2 n．

②存在．是平行于直線y=x且過A₁（2，0）的直線，其表達式為y=x－2．

【考點解剖】 本題考查了二次函數(shù)的一般知識，求字母系數(shù)、解析式、頂點坐標(biāo)；字母表示數(shù)（符號意識），數(shù)形結(jié)合思想，規(guī)律探究，合情推理，解題方法的靈活性等等，更重要的是一種膽識和魄力，敢不敢動手，會不會從簡單，從特殊值入手去探究一般規(guī)律，畫一畫圖幫助思考，所有這些都是做學(xué)問所必需的品質(zhì)和素養(yǎng)，也是新課程改革所倡導(dǎo)的精神和最高境界．

【解題思路】  （1）將A₀坐標(biāo)代入y₁的解析式可求得a₁的值；a₁的值知道了y₁的解析式也就確定了，已知拋物線就可求出b₁的值，又把（b₁，0）代入y₂，可求出a₂ ，即得y₂的解析式；（2）用同樣的方法可求得a₃ 、a₄ 、a₅ ……由此得到規(guī)律，所以頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y= x；（3）由（2）可知得; 最后一問我們會猜測這是與直線y=x平行且過A（2，0）的一條直線，用特殊值法取得和，得所截得的線段長度為，換一組拋物線試試，求出的值也為（當(dāng)然用字母來運算就是解得和，求得所截得的線段長度也為）.

【解答過程】   略.

【方法規(guī)律】  掌握基礎(chǔ)（知識），靈活運用（方法），敢于動手，不畏艱難.

【關(guān)鍵詞】   二次函數(shù)   拋物線   規(guī)律探究