Question

觀察下列等式：回答問題：
①

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

    
 ②

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

③

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

，…
（1）根據(jù)上面三個等式的信息，猜想

1+ 1 42 + 1 52

=

 

；
（2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式；
（3）驗證你的結(jié)果．

Answer 1

考點：二次根式的性質(zhì)與化簡

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)觀察，可得規(guī)律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．

解答：解：（1）根據(jù)上面三個等式的信息，猜想

1+ 1 42 + 1 52

=1

1

20

，
故答案為：1

1

20

；
（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．
（3）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

[n(n+1)]2+(n+1)2+n2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)+1]2 [n(n+1)]2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=

n(n+1)+(n+1)-n

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．

點評：本題考查了算術(shù)平方根，觀察等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．