Question

12．如圖，已知直線l的解析式為y=x+4與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)．
（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）又知點(diǎn)C（-2，0），請(qǐng)?jiān)谥本�l上找一點(diǎn)P，使得OP+CP的值最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把x=0，y=0代入解答即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）把x=0代入y=x+4=4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）；
把y=0代入y=x+4，解得：x=-4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），
（2）點(diǎn)O關(guān)于l的軸對(duì)稱點(diǎn)O'（-4，4），
連接O'C交l于點(diǎn)P，
則OP+CP=O'P+CP=O'C=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$為最小，
設(shè)經(jīng)過(guò)O'、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=mx+n，
將O'（-4，4），（-2，0）分別代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=-4m+n}\\{0=-2m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
所以經(jīng)過(guò)O'、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=-2x-4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$-\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)解答．