Question

如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，連BF、BE，
①求∠EBF度數(shù)；
②延長(zhǎng)AG交BE的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，求

AG

DH

的值；
③若

CE

DE

=

1

2

，且正方形邊長(zhǎng)為3

10

，則BH=

9

2

．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)和已知條件可得到∠EBF=

1

2

∠ABC，又因?yàn)椤螦BC是正方形的一個(gè)內(nèi)角，所以∠ABC=90°，進(jìn)而求出∠EBF度數(shù)；
（2）設(shè)BF交AG于點(diǎn)Q，通過(guò)證明△ABQ∽△DBH，由相似三角形的性質(zhì)即可得到

AQ

DH

=

AB

BD

=

2

2

，進(jìn)而得到

AG

DH

=

2

；
（3）設(shè)BE交CG于點(diǎn)M，由已知條件和勾股定理可求出BE，由射影定理可求出BM的長(zhǎng)，由△ABQ∽△DBH，得BH=

2

BQ=

2

BM=9

2

．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，
∴BG=BC=AD=BA，∠BAF=∠BGF=∠BCE=90°
∴BF平分∠AFG，BE平分∠GEC，
∴BF平分∠ABG，BE平分∠GBC．
∴∠ABF=∠FBG，∠GBE=∠EBC，
∴∠EBF=

1

2

∠ABC=45°；
                            
（2）設(shè)BF交AG于點(diǎn)Q，連接BD，DH，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DBH+∠FBD=45°，
∴∠ABF=∠DBH，
∵∠AQB=∠DHB=90°，
∴△ABQ∽△DBH，
∴

AQ

DH

=

AB

BD

=

2

2

                           
∴

AG

DH

=

2

；
                      
（3）設(shè)BE交CG于點(diǎn)M，
∵

CE

DE

=

1

2

，DC=3

10

，
∴CE=

10

，DE=2

10

，
∴BE=

CE2+BC2

=10，
∵BC²=BM•BE，
∴90=BM×10，
∴BM=9，
由△ABQ∽△DBH，
得BH=

2

BQ=

2

BM=9

2

．     
故答案為：9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．