Question

如圖，在⊙O中，直徑AB平分弦CD，AB與CD相交于點E，連接AC、BC，點F是BA延長線上的一點，且∠FCA=∠B．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）若AC=4，tan∠ACD=

1

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,垂徑定理

專題：證明題,幾何綜合題

分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCF=90°，進而得出答案；
（2）利用垂徑定理推論得出

AD

=

AC

，進而得出BC的長，再利用勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：連接CO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切線；

（2）解：∵直徑AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴

AD

=

AC

，
∵AC=4，tan∠ACD=

1

2

，
∴tan∠B=tan∠ACD=

AC

BC

=

1

2

，
∴

AC

BC

=

1

2

，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

82+42

=4

5

，
則⊙O的半徑為：2

5

．

點評：此題主要考查了切線的判定以及垂徑定理的推論和勾股定理等知識，得出BC的長是解題關(guān)鍵．