Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,一次函數(shù)的應(yīng)用,勾股定理的應(yīng)用,等腰直角三角形,矩形的性質(zhì),相似三角形的應(yīng)用

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點(diǎn)，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2，再根據(jù)過A，B兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果；
（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形．由相似關(guān)系求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥AD于點(diǎn)F，由BC∥AD設(shè)BC的解析式為y=kx+b，設(shè)AD的解析式為y=kx+n，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，就可以求出點(diǎn)D坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．
將A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a=-  1 2 b=  3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）存在．
由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

22+42

=2

5

．
在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則

1

2

×2

5

h=

1

2

×2×4，
∴h=

4

5

5

．
∵△BEA∽△COB，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∴

AB

BC

=

|y|

4 5 5

，
∴y=±2
將y=2代入拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
得x₁=0，x₂=3．
當(dāng)y=-2時(shí)，不合題意舍去．
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥AD于點(diǎn)F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

2=b 0=4k+b

，
∴

k=- 1 2 b=2

，
y_BC=-

1

2

x+2．
由BC∥AD，設(shè)AD的解析式為y=-

1

2

x+n，由圖象，得
0=-

1

2

×（-1）+n
∴n=-

1

2

，
y_AD=-

1

2

x-

1

2

．
∴-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

x-

1

2

，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）與A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x軸，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=

10

．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=

5

，BC=2

5

，
∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四邊形ACBF是矩形，
∴AC=BF=

5

，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=

5

，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．