Question

如圖，等腰△ABC的底邊BC=10cm，頂角為120°，求它的外接圓的直徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：連接OA交BC于D，根據(jù)三線合一定理得出BD=DC，∠OAC=

1

2

∠BAC，得出等邊三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根據(jù)勾股定理求出即可半徑，進而求得直徑．

解答：解：連接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂徑定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
設(shè)OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a²+5²=（2a）²，
a=

5 3

3

，
∴OC=2a=

10 3

3

，
∴外接圓的直徑=2OC=

20 3

3

（cm）．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓和外心，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點，此題有一定的難度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．