Question

提出問題

如圖，在△ABC中，∠A＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，連接EG，小亮發(fā)現(xiàn)△ABC與△AEG面積相等．小亮思考：這個問題中，如果∠A≠90°，那么△ABC與△AEG面積是否仍然相等？

猜想結(jié)論

經(jīng)過研究，小亮認為：上述問題中，對于任意△ABC，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，連接EG，那么△ABC與△AEG面積相等．

證明猜想

（1）請你幫助小亮畫出圖形，并完成證明過程．已知：以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE．求證：S_△AEG=S_△ABC．

結(jié)論應用

（2）學校教學樓前的一個六邊形花圃被分成七個部分，分別種上不同品種的花卉，其中四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，且面積分別為9m²、5m²和4m²．求這個六邊形花圃ABIHFE的面積．

 

Answer 1

（1）證明：①如圖（1），當∠BAC＝90°時，

△EAG≌△BAC（SAS），∴S_△AEG=S_△ABC．   ………………2分      

②如圖（2），當∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB，垂足為M，

過G作GN⊥AE，與AE的延長線交于點N．

∵∠GAN +∠NAC =∠GAC =90°，∠MAC +∠NAC =∠MAN = 90°，

∴∠GAN =∠MAC，又AC =AG，∠AMC =∠ANG =90°．

∴△AMC≌△ANG，∴GN = CM．

又S_△AEG＝AE·GN，S_△ABC＝AB·CM，    

∴S_△AEG = S_△ABC．           ………………5分

③如圖（3），當∠BAC＞90°時，

如圖中輔助線，仿照⑵，同理可證．         

綜合以上結(jié)論可知，命題成立．………………7分

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面積分別為9m²、5m²和4m²，

        ∴DC²＝9m²，CG²＝5m²，DG²＝4m²．

        ∵DC²＝CG²＋DG²，∴三角形DCG是直角三角形，∠DGC＝90°．

        ∴S_△DCG＝·DG·CG＝´2´＝m．

        ∵四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，

根據(jù)上面結(jié)論可得：△ADE、△FGH△、△CBI均與△DCG的面積相等，

        ∴六邊形ABIHFE的面積為9＋5＋4＋4´＝(18＋4) m². ……………10