Question

【題目】如圖，E為等腰直角△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，要使AE＝3，BE＝1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值為____________．

Answer 1

【答案】5

【解析】試題分析：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)最短路徑可知：此時(shí)PB+PE的值最小，接下來(lái)要求出這個(gè)最小值，即求EF的長(zhǎng)即可，因此要先求AF的長(zhǎng)，證明△ADF≌△CDB，可以解決這個(gè)問(wèn)題，從而得出EF=5，則PB+PE的最小值為5．

解：如圖，過(guò)B作BD⊥AC，垂足為D，并截取DF=BD，連接EF交AC于P，連接PB、AF，則此時(shí)PB+PE的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵∠ADF=∠CDB，

∴△ADF≌△CDB，

∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，

∵AE=3，BE=1，

∴AB=BC=4，

∴AF=4，

∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,

∴由勾股定理得：EF===5，

∵AC是BF的垂直平分線，

∴BP=PF，

∴PB+PE=PF+PE=EF=5，

故答案為：5.