Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，以O(shè)A為直徑作⊙M，在半圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PO、PA、PB、PC，已知A（4，0）．
（1）OP=2時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{3}$）；
（2）求當(dāng)OP為多少時(shí)，△OPC為等腰三角形；
（3）設(shè)P（a，b），S_△POC=S₁，S_△POA=S₂，S_△PAB=S₃，求出S=2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此時(shí)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出OA=AB=BC=CO=4，根據(jù)圓周角定理得到∠OPA=90°，根據(jù)勾股定理求出OE、PE，得到答案；
（2）分PC=PO、CO=CP兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理計(jì)算即可；
（3）用a、b分別表示出S₁、S₂、S₃，根據(jù)射影定理求出b²=a（4-a），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=4，
∵四邊形OABC為正方形，
∴OA=AB=BC=CO=4，
∵OA為⊙M的直徑，
∴∠OPA=90°，OP=2，OA=4，
∴∠OAP=30°，
∴∠OPE=30°，又OP=2，
∴OE=1，PE=$\sqrt{3}$，
∴P（1，$\sqrt{3}$）；
（2）如圖2，當(dāng)PC=PO時(shí)此時(shí)P位于四邊形OABC的中心，
過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，作PF⊥OC于F，
則四邊形OEPF是正方形，
∴PE=OE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴OP=2$\sqrt{2}$，
如圖3，當(dāng)CO=CP時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，CO為半徑作圓與弧OA的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
連PO，連接PM，CM，CM交OP于點(diǎn)G，
在△ADO和△PDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CP}\\{MO=MP}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△PDO，
∴CM⊥OP，OG=PG，
∵OC=4，OM=2，
∴CM=2$\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
則OP=2OG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)OP為2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$時(shí)，△OPC為等腰三角形；
（3）∵P（a，b），OA=AB=CO=4，
∴S₁=2a，S₃=8-2a，b²=4a-a²，S₂=2b，
如圖2，P（a，b），
由射影定理得，PE²=OE•AE，即b²=a（4-a），
∴S=2×2a×（8-2a）-（2b）²=8（4a-a²）-4b²=-4（a-2）²+16，
當(dāng)a=2時(shí)，S_最大=16，
當(dāng)a=2時(shí)，b=$\sqrt{a（4-a）}$=2，
∴P的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式的求法以及二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．