Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC，那么∠EMC與∠BEM的大小關系怎樣？

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，求出∠MCF=∠B，證△MCF≌△MBE，根據(jù)全等得出EM=FM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出MD=MF，求出∠F=∠MDC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F，即可得出答案．

解答 解：∠EMC=3∠BEM，
理由是：延長EM交DC的延長線于F，連接DM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠MCF=∠B，
在△MCF和△MBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠B}\\{MC=BM}\\{∠CMF=∠BME}\end{array}\right.$
∴△MCF≌△MBE（AAS），
∴EM=FM，
即M是EF的中點，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥FD，
∴△DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，
∴MD=MF，
∴∠F=∠MDC，
∵MC=CD，
∴∠MDC=∠CMD，
∴∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
∴∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線問題，能夠通過作輔助線輔助解題是解此題的關鍵．