Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥CD，BD交⊙O于點(diǎn)E，連CE．
（1）求證：∠ABC=∠DBC；
（2）若CD=4，BD=2，求cos∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，OC，由AB是⊙O的直徑，得到∠A+∠ABC=90°，由垂直的定義得到∠DCB+∠CBD=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDB=∠A，即可得到結(jié)論；
（2）連接AE，由勾股定理得到BC=2$\sqrt{5}$，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°=∠AEB，推出△BCD∽△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ED=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=8，BE=6AB=$\frac{B{C}^{2}}{BD}=10$，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠DCB+∠CBD=90°，
∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠CDB=∠A，
∴∠ABC=∠DBC；

（2）解：連接AC，AE，
∵∠D=90°，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠AEB，
∴∠BAC+∠ABC=90°=∠DBC+∠BCD，
∴∠BCD=∠BAC=∠CED，
∴△BCD∽△CED，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{ED}$，
∴ED=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=8，BE=6，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
∴AB=$\frac{B{C}^{2}}{BD}=10$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴cos∠ECB=cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．