Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．(1)試說明：△ABD≌△BCE． (2)△AEF與△ABE相似嗎?請說明理由．
(3)試說明：BD²=AD·DF．

Answer 1

證明見解析

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE，
∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
（3）BD²=AD•DF；
證明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，
又∵∠ADB=∠BDF，
∴△BDF∽△ADB；
∴BD AD ="DF" BD ，即BD²=AD•DF；
（1）根據(jù)等邊三角形各邊長相等和各內角為60°的性質可以求證△ABD≌△BCE；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等性質可得∠BAD=∠CBE，進而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求證△EAF∽△EBA，
（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根據(jù)兩個對應角相等的三角形相似證得．