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17.【閱讀理解】
已知△ABC的三條中線分別是AD,BE,CF.通過適當(dāng)平移,這是三條中線可以組成一個(gè)三角形,我們把這個(gè)三角形叫做△ABC的中線三角形,如圖①中,△BEG就是△ABC的中線三角形.
【特例研究】
(1)已知圖①中每個(gè)小正方形的邊長均為1,△ABC的三邊長分別是6,8,10,那么△ABC的面積S1=24,△ABC的中線三角形的面積S2=18,S1S2=43
【拓展推廣】
(2)如圖②,△ABC的三條中線分別是AD,BE,CF,將AD平移至GB,連結(jié)EG.
①求證:△BEG是△ABC的中線三角形;
②設(shè)△ABC的面積為S1,△BEG的面積為S2,計(jì)算S1S2的值.

分析 (1)根據(jù)勾股定理的逆定理可證到∠ACB=90°,就可求出S1,然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可求出是S2,從而可求出S1S2;
(2)①連接AG、GF、EF,如圖2①,要證△BEG是△ABC的中線三角形,只需證EG=CF,只需證四邊形ECFG是平行四邊形,只需證EC∥GF,EC=GF,由于AE=EC,只需證四邊形AEFG是平行四邊形即可;②延長GA、BE交于點(diǎn)N,如圖2②,易證△AEN≌△CEB,從而可得AN=BC,NE=BE,即可得到AN=2AG,NG=3AG,ANNG=23.由AE=EC,NE=BE,根據(jù)等高三角形的面積比等于底的比可得S2=S△NEG,S1=2S△ABE=2S△ANE,進(jìn)而可得S1S2=2SAENSGEN=2×ANNG,問題得以解決.

解答 解:(1)如圖1,

∵BC=6,AC=8,AB=10,
∴BC2+AC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴S1=12×6×8=24,
S2=6×8-12×3×4-12×3×8-12×4×6=18,
S1S2=2418=43
故答案為24,18,43

(2)①連接AG、GF、EF,如圖2①,

∵AD∥BG,AD=BG,
∴四邊形ADBG是平行四邊形,
∴AG∥BD,AG=DB.
∵AE=EC,AF=BF,CD=BD,
∴EF∥BC,EF=12BC=DB,
∴AG∥EF,AG=EF,
∴四邊形AEFG是平行四邊形,
∴AE∥GF,AE=GF,
∴EC∥GF,EC=GF,
∴四邊形ECFG是平行四邊形,
∴EG=CF,
∴△BEG是△ABC的中線三角形;
②延長GA、BE交于點(diǎn)N,如圖2②,

∵AG∥BC即AN∥BC,
∴∠N=∠EBC.
在△AEN和△CEB中,
{N=EBCAEN=CEBAE=CE,
∴△AEN≌△CEB,
∴AN=BC,NE=BE,
∴AN=BC=2AG,
∴NG=NA+AG=BC+AG=3AG,
ANNG=2AG3AG=23
∵AE=EC,NE=BE,
∴S△BEG=S△NEG,S△ABC=2S△ABE=2S△ANE,
S1S2=2SAENSGEN=2×ANNG=2×23=43

點(diǎn)評 本題主要考查來了勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積比等于底的比、三角形中位線定理、平行線的傳遞性等知識(shí),證到四邊形ECFG是平行四邊形是解決第(2)①小題的關(guān)鍵,借助于平行線和中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解決第(2)②小題的關(guān)鍵.

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