Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．當線段AM最短時，重疊部分的面積是________．

Answer 1

分析：先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABE∽△ECM，設BE=x，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得CM的表達式繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積．
解答：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM，
設BE=x，
∴=，即=，
∴CM=-+x=-（x-3）²+，
∴AM=5-CM=（x-3）²+，
∴當x=3時，AM最短為，
又∵當BE=x=3=BC，
∴點E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴AE===4，此時EF⊥AC，
∴EM===，
∴S_△AEM=AM•EM=××=．
故答案為：．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及二次函數(shù)的最值問題，在解答此題時要注意數(shù)形結合思想與函數(shù)思想的應用．