Question

【題目】如圖，是將拋物線y=﹣x2平移后得到的拋物線，其對稱軸為x=1，與x軸的一個交點為A（﹣1，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點N為拋物線上一點，且BC⊥NC，求點N的坐標；
（3）點P是拋物線上一點，點Q是一次函數(shù)y= x+ 的圖象上一點，若四邊形OAPQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P，Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．

把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，

解得k=4，

則拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：在y=﹣x2+2x+3中令x=0，則y=3，即C的坐標是（0，3），OC=3．

∵B的坐標是（3，0），

∴OB=3，

∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

過點N作NH⊥y軸，垂足是H．

∵∠NCB=90°，

∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

設(shè)點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3）．

∴a+3=﹣a2+2a+3，

解得a=0（舍去）或a=1，

∴N的坐標是（1，4）；

（3）

解：∵四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，

設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），代入y= x+ ，則﹣t2+2t+3= （t+1）+ ，

整理，得2t2﹣t=0，

解得t=0或 ．

∴﹣t2+2t+3的值為3或 ．

∴P、Q的坐標是（0，3），（1，3）或（ ， ）、（ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線的對稱軸，因而可以設(shè)出頂點式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）首先求得B和C的坐標，易證△OBC是等腰直角三角形，過點N作NH⊥y軸，垂足是H，設(shè)點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3），根據(jù)CH=NH即可列方程求解；（3）四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），代入y= x+ ，即可求解．