問(wèn)題背景：已知x是實(shí)數(shù)，求的最小值．要解決這個(gè)問(wèn)題需現(xiàn)判斷出0＜x＜12，繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長(zhǎng)為2+3和12為邊的矩形，找出等于的線(xiàn)段，再比較和矩形對(duì)角線(xiàn)的大�。�
解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在A(yíng)B上截取AM=3，做矩形AMND．設(shè)點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)MP=x，則PN=12-x，
（1）我們把上述求最值問(wèn)題的方法叫做構(gòu)圖法．請(qǐng)仿造上述方法求的最小值．
探索創(chuàng)新：
（2）已知a，b，c，d是正實(shí)數(shù)且a+b+c+d=1，試運(yùn)用構(gòu)圖法求的最小值．

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理，和表示矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可構(gòu)造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．在A(yíng)B上截取AM=5，作矩形AMND．設(shè)點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)MP=x，則PN=8-x，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可證得；
（2）根據(jù)已知可以構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)分別是a+b+c+d的正方形，即可利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可求解．
解答：解：（1）構(gòu)造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．
在A(yíng)B上截取AM=5，作矩形AMND．
設(shè)點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)MP=x，則PN=8-x，
PB=，
PD=
BD==10
∵PB+PD≥BD=10
∴y的最小值是10；

（2）構(gòu)造圖形，使BE=，EF=，F(xiàn)G=，DG=，
則BE+EF+FG+DG=的最小值等于BD====．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，正確理解題意是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

24、閱讀并解決問(wèn)題．
對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2中先加上一項(xiàng)a2，使它與x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添-適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是實(shí)數(shù)，試比較x2-4x+5與-x2+4x-4的大小，說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題背景：已知x是實(shí)數(shù)，求y=
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．要解決這個(gè)問(wèn)題需現(xiàn)判斷出0＜x＜12，繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長(zhǎng)為2+3和12為邊的矩形，找出等于
x2+22
和
(12-x)2+32
的線(xiàn)段，再比較
x2+22
和
(12-x)2+32
和矩形對(duì)角線(xiàn)的大小．
解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在A(yíng)B上截取AM=3，做矩形AMND．設(shè)點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)MP=x，則PN=12-x，
PB=
x2+22
PD=
(12-x)2+32
BD=
122+52
=13
∵PB+PD≥BD=13
∴y的最小值是13.

（1）我們把上述求最值問(wèn)題的方法叫做構(gòu)圖法．請(qǐng)仿造上述方法求y=
1+x2
+
25+(8-x)2
的最小值．
探索創(chuàng)新：
（2）已知a，b，c，d是正實(shí)數(shù)且a+b+c+d=1，試運(yùn)用構(gòu)圖法求
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+d2
+
d2+a2
的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

閱讀并解決問(wèn)題．
對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2中先加上一項(xiàng)a2，使它與x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添-適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是實(shí)數(shù)，試比較x2-4x+5與-x2+4x-4的大小，說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題背景：已知x是實(shí)數(shù)，求的最小值。要解決這個(gè)問(wèn)題需現(xiàn)判斷出0<x<12,繼而聯(lián)想到構(gòu)造以邊長(zhǎng)為2+3和12為邊的矩形，找出等于的線(xiàn)段，再比較和矩形對(duì)角線(xiàn)的大小。

解：構(gòu)造矩形ABCD，使AB=5，AD=12.在A(yíng)B上截取AM=3，做矩形AMND。設(shè)點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)MP=x,則PN=12-x,

（1）        我們把上述求最值問(wèn)題的方法叫做構(gòu)圖法．請(qǐng)仿造上述方法求的最小值。

探索創(chuàng)新：

（2）已知a,b,c,d是正實(shí)數(shù)且a+b+c+d=1，試運(yùn)用構(gòu)圖法求的最小值．

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