Question

2．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)D對應(yīng)），當(dāng)BD旋轉(zhuǎn)至與AB垂直時(shí)，點(diǎn)A，D，E恰好在同一直線上，作EF⊥BC于點(diǎn)F．若$\frac{CD}{DF}$=$\frac{3}{2}$，AE=5$\sqrt{5}$，則線段AB的長度為10．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BD，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BDE=∠BED，故可得出∠CAD=∠BAD．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DH，由AAS定理得出△BDH≌△EBF，故可得出BF=CD．根據(jù)$\frac{CD}{DF}$=$\frac{3}{2}$可設(shè)CD=3k，DF=2k，則BF=CP=3k，BE′=BD=3k+2k=5k，根據(jù)勾股定理用k表示出EF的長，由相似三角形的判定定理得出△BAE∽△FED，故可得出BE=$\frac{1}{2}$AB，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：∵BE是BD旋轉(zhuǎn)得到，
∴BE=BD，
∴∠BDE=∠BED．
∵∠C=90°，BE⊥AB，
∴∠CAD+∠ADC=90°，∠BAD+∠AEB=90°．
又∵∠ADC=∠BDE
∴∠CAD=∠BAD；
過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
∵∠CAD=∠BAD，∠C=90°，
∴CD=DH．
∵EF⊥BC，
∴∠EBF+∠BEF=90°．
又∵∠DBH+∠EBF=90°，
∴∠DBH=∠BEF．
在△BDH和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DBH=∠BEF\\∠BHD=∠EFB\\ BD=BE\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△EBF（AAS），
∴BF=DH，
∴BF=CD．
∵$\frac{CD}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴設(shè)CD=3k，DF=2k，則BF=CP=3k，BE′=BD=3k+2k=5k，
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{（5k）^{2}-（3k）^{2}}$=4k，
∵∠C=90°，EF⊥BC，
∴∠C=∠DFE．
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠CAD=∠DEF．
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠BAD=∠DEF，
又∵∠ABE=∠DFE=90°，
∴△BAE∽△FED，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{DF}$，即$\frac{AB}{4k}$=$\frac{BE}{2k}$，
解得BE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即AB²+$\frac{1}{4}$AB²=（5$\sqrt{5}$）²，
解得AB=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．