Question

10．如圖，已知A（-1，0），B（9，0），以AB為直徑的圓P交y軸負半軸于C，連接AC，BC，
（1）求過A，B，C三點的拋物線；
（2）點E是AC延長線上的一點，∠BCE的平分線CD交圓于D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點M，使得∠MDB=∠CBD？存在，請求出M坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證△OAC∽△OCB得C（0，-3），再根據(jù)A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）三點坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求得解析式；
（2）由CD平分∠BCE得∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DO'B=45°即∠DO'B=90°，進而知D（4，-5），用待定系數(shù)法可求得直線解析式；
（3）假設(shè)在拋物線上存在點M使得∠MDB=∠CBD，則$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，分兩種情況：①把點C、D繞點O′逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點D與點B重合，則點C與點Q₁重合，此時點Q₁（7，-4），求出直線DQ₁解析式，根據(jù)直線DQ₁和拋物線解析式聯(lián)立方程組可得點M坐標(biāo)；②點Q₁關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為Q₂（7，4）也符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，求出直線DQ2解析式，根據(jù)直線DQ₂和拋物線解析式可得點M坐標(biāo)．

解答 解：（1）AB是⊙O'的直徑，
∴AC⊥BC，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{CO}{BO}$，
∴CO=$\sqrt{AO•BO}$=3，
∴C（0，-3），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{81a+9b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3；
（2）如圖1，連結(jié)O'D，

∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DO'B=45°，
∴∠DO'B=90°，
 又DO'=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴D（4，-5），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{4k+b=-5}\end{array}\right.$  解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-9}\end{array}\right.$
故直線BD的解析式為y=x-9；
（3）假設(shè)在拋物線上存在點M，使得∠MDB=∠CBD，
設(shè)射線DM交⊙O′于點Q，則$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$．
分兩種情況（如圖2所示）：

①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點D與點B重合，則點C與點Q₁重合，
因此，點Q₁（7，-4）符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ₁解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{19}{3}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-29+\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-29-\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$，
∴點M₁坐標(biāo)為（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），（$\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29-\sqrt{41}}{6}$）（不合題意，舍去）．
②∵Q₁（7，-4），
∴點Q₁關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為Q₂（7，4）也符合$\widehat{BQ}=\widehat{CD}$．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ₂解析式為y=3x-17．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-17}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=14}\\{{y}_{2}=25}\end{array}\right.$
∴點M₂坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，-8）不符合題意，舍去．
∴符合條件的點P有兩個：M₁（$\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），M₂（14，25）．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似及全等、探究角相等的構(gòu)成情況等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．