Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=2x²沿y軸向上平移1個(gè)單位，再沿x軸向右平移兩個(gè)單位，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)記作A，直線x=3與平移后的拋物線相交于B，與直線OA相交于C．
（1）求△ABC面積；
（2）點(diǎn)P在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，如果△ABP與△ABC相似，求所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知平移后的函數(shù)的解析式為：y=2（x-2）²+1，可據(jù)此求出其頂點(diǎn)A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線AO的解析式，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出△ABC的面積；
（2）由于不確定是哪組角對(duì)應(yīng)相等，因此要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠PBA=∠CBA時(shí)，四邊形PACB是平行四邊形，因此PA=BC，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)∠APB=∠BAC時(shí)，可根據(jù)關(guān)于AP，AB，BC的比例關(guān)系式，求出AP的長，進(jìn)而可求出P的坐標(biāo)．
綜上所述即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：平移后拋物線的解析式為y=2（x-2）²+1．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)直線OA解析式為y=kx，將A（2，1）代入
得k=

1

2

，直線OA解析式為y=

1

2

x，
將x=3代入y=

1

2

x
得y=

3

2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

3

2

）．
將x=3代入y=2（x-2）²+1得y=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．
∴S_△ABC=

3

4

．

（2）∵PA∥BC，
∴∠PAB=∠ABC
①當(dāng)∠PBA=∠BAC時(shí)，PB∥AC，
∴四邊形PACB是平行四邊形，
∴PA=BC=

3

2

．
∴P₁（2，

5

2

）．

②當(dāng)∠APB=∠BAC時(shí)，

AP

AB

=

AB

BC

，
∴AP=

AB2

CB

．
又∵AB=

(3-2)2+(3-1)2

=

5

，
∴AP=

10

3

∴P₂（2，1+

10

3

）即P₂（2，

13

3

）
綜上所述滿足條件的P點(diǎn)有（2，

5

2

），（2，

13

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，圖形面積的求法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．