Question

5．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其他條件不變，如圖2，求證：①△AEF≌△BCF；②AE=2BD．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質求出AD⊥BC，根據線段垂直平分線性質求出即可；
（2）①求出AF=BF，根據垂直得出∠AFE=∠BFC=∠ADC=90°，求出∠FAE=∠CBF，根據ASA推出全等即可；
②根據全等三角形的性質得出AE=BC，即可求出答案．

解答 證明：（1）∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴BE=CE（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；

（2）①∵BF⊥AC，
∴∠CFB=∠AFB=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴AF=BF，
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠AFE=∠BFC=∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠FAE=∠CBF，
在△AEF和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AFE=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）；

②∵△AEF≌△BCF，
∴AE=BC，
∵D為BC的中點，
∴BC=2BD，
∴AE=2BD．

點評 本題考查了三角形內角和定理，線段垂直平分線性質，全等三角形的性質和判定的應用，能推出△AEF≌△BCF是解此題的關鍵．