如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3,點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn),連接PA,將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PE,在直線BA上取點(diǎn)F,使BF=BP,且點(diǎn)F與點(diǎn)E在BC同側(cè),連接EF,CF.
⑴如圖,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí),求證:四邊形PCFE是平行四邊形;
⑵如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),四邊形PCFE是否還是平行四邊形,說(shuō)明理由;
⑶在⑵的條件下,四邊形PCFE的面積是否有最大值?若有,請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)BP長(zhǎng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。
第25題 圖 | 第25題 圖 |
(1)證法一:如圖①
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90°
又∵BP=BF
∴△PBA≌△FBC ……………1分
∴PA=FC ∠PAB=∠FCB
又∵PA=PE ∴PE=FC ……………2分
∵∠PAB+∠APB= 90° ∴∠FCB+∠APB= 90°
又∵∠EPA=90°
∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°
即∠EPC+∠PCF=180°
∴EP∥FC ………………4分
∴四邊形EPCF是平行四邊形. ………………5分
證法二:延長(zhǎng)CF與AP相交于點(diǎn)G,如圖②
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC, ∠ABC=∠PBA=90°
又∵BP=BF
∴△PBA≌△FCB ……………1分 第26題 圖②
∴∠PAB=∠FCB,AP=CF
又∵PA=PE ∴PE=FC ……………2分
∵∠PAB+∠APB=90°∴∠FCB+∠APB=90°
∴∠PGC=90°∴∠PGC=∠APE=90°∴EP∥FC ……4分
∴四邊形EPCF是平行四邊形. ………5分
(2)證法一:結(jié)論:四邊形EPCF是平行四邊形,如圖③ ……6分
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC, ∠ABC=∠CBF=90°
又∵BP=BF ∴△PBA≌△FBC ……………7分
∴PA=FC ∠PAB=∠FCB
又∵PA=PE ∴PE=FC ……………8分
∵∠FCB+∠BFC= 90°
∠EPB+∠APB= 90° 第25題圖③
∴∠BPE=∠FCB
∴EP∥FC ………………9分
∴四邊形EPCF是平行四邊形. ………………10分
證法二:結(jié)論:四邊形EPCF是平行四邊形 ……………6分
延長(zhǎng)AP與FC相交于點(diǎn)G如圖④
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC, ∠ABC=∠CBF=90°
又∵BP=BF ∴△PBA≌△FBC ……………7分
∴PA=FC ∠PAB=∠FCB
又∵PA=PE ∴PE=FC ……………8分
∵∠FCB+∠BFC=90°
∴∠PAB+∠BFC=90°
∴∠PGF=90°
∴∠PGF=∠APE=90°
∴EP∥FC ………………9分 第25題④圖
∴四邊形EPCF是平行四邊形. ………………10分
(3)解:設(shè)BP=x,則PC=3-x 平行四邊形PEFC的面積為S, …………………11分
S=PC·BF=PC·PB= ……………12分
當(dāng)時(shí), = …………………………………………………13分
∴當(dāng)BP=時(shí),四邊形PCFE的面積最大,最大值為. …………………14分
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