Question

 如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在軸，軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于軸對稱，tan∠ACB=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF=∠ACB。

（1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）說明△AEF與△DCE相似；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴∠B=90°，

在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12，

則AO=BC=12，  ∴ A（-12，0），

點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于軸對稱，∴D（12，0）；

（2）∠AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE，

∵BC∥AD， ∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于軸對稱，而C，O在對稱軸上，

∴△ACO與△DCO關(guān)于軸對稱，

∴∠FAE=∠EDC②， 由①，②得△AEF∽△DCE；

（3）當(dāng)FE=EC時，△EFC為等腰三角形，由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC，

此時，AE=DC=AC==20，則E（8，0）；

當(dāng)CF=CE時，∠CFE=∠CEF=∠ACB，則有EF∥BC，

此時，點(diǎn)F與A重合，則點(diǎn)E在D處，與已知矛盾；

當(dāng)CF=FE時，∠FCE=∠CEF，又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE

∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF，即∠ACD=∠AEC， 而∠CAE=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD，而AD=18，∴AE=

則E（，0），

∴當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0）或（，0）。