Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向上平移2個(gè)單位長度或向右平移1個(gè)單位長度．
（1）實(shí)驗(yàn)操作：
在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達(dá)的點(diǎn)，并把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)填寫在表格中：

P從點(diǎn)O出發(fā)平移次數(shù)	可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)
1	（1，0），（0，2）
2
3

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：
設(shè)點(diǎn)P（x，y），任一次平移，點(diǎn)P可能到達(dá)的點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)都滿足一定的關(guān)系式．
例如：平移1次后2x+y=

2

；平移2次后2x+y=

4

；平移3次后2x+y=

6

；…．
由此我們知道，平移n次后點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是

2x+y=2n

．
（3）探索運(yùn)用：
點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)經(jīng)過n次平移后達(dá)到點(diǎn)R，若點(diǎn)R的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大6，并且點(diǎn)P平移的路徑長不小于50，不超過56，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的平移特點(diǎn)描出每次平移后P點(diǎn)的位置，并且寫出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)（1）中表格可知平移1次后2x+y=2；平移2次后2x+y=4；平移3次后2x+y=6；…由此得出平移n次后點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是2x+y=2n；
（3）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y），先根據(jù)（2）中結(jié)論可得2x+y=2n①，由點(diǎn)R的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大6可得y-x=6②，再將①與②聯(lián)立組成關(guān)于x、y的方程組，解方程組求出x、y的值，計(jì)算出x+y=

4

3

n+2，然后根據(jù)點(diǎn)P平移的路徑長不小于50，不超過56，列出不等式組，得出n的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)R的坐標(biāo)為正整數(shù)即可進(jìn)行解答．

解答：解：（1）如圖所示：

P從點(diǎn)O出發(fā)平移次數(shù)	可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)
1	（1，0），（0，2）
2	（1，2），（0，4），（2，0）
3	（1，4），（0，6），（2，2），（3，0）

（2）平移1次后可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），（0，2），
如果坐標(biāo)為（1，0），那么2x+y=2×1+0=2；如果坐標(biāo)為（0，2），那么2x+y=2×0+2=2．
即平移1次后2x+y=2；
平移2次后可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），（0，4），（2，0），
如果坐標(biāo)為（1，2），那么2x+y=2×1+2=4；如果坐標(biāo)為（0，4），那么2x+y=2×0+4=4；如果坐標(biāo)為（2，0），那么2x+y=2×2+0=4．
即平移2次后2x+y=4；
同理可求出平移3次后2x+y=6；
∵平移1次后2x+y=2，2=2×1；
平移2次后2x+y=4，4=2×2；
平移3次后2x+y=6，6=2×3；
…，
∴平移n次后點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是2x+y=2n；

（3）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，得

2x+y=2n y-x=6

，
解得

x= 2 3 n-2 y= 2 3 n+4

，
∴x+y=

4

3

n+2．
∵平移的路徑長為x+y，
∴50≤x+y≤56，
∴50≤

4

3

n+2≤56，
∴36≤n≤40.5．
∵x、y都是整數(shù)，
∴n是3的倍數(shù)，
∴n=36，39．
當(dāng)n=36時(shí)，x=

2

3

×36-2=22，y=

2

3

×36+4=28；
當(dāng)n=39時(shí)，x=

2

3

×39-2=24，y=

2

3

×39+4=30；
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（22，28），（24，30）．
故答案為2；4；6；2x+y=2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，二元一次方程組與一元一次不等式組的應(yīng)用，難度適中．通過動(dòng)手操作，觀察發(fā)現(xiàn)得出平移n次后點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式2x+y=2n是解答此題的關(guān)鍵．