Question

有一組等式：
1²+2²+2²=3²，
2²+3²+6²=7²，
3²+4²+12²=13²，
4²+5²+20²=21²
…
請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下面的問題：
（1）寫出第8個(gè)等式為

 

；
（2）試用含正整數(shù)n的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
（3）說明你在（2）中所寫等式成立的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算,規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：計(jì)算題

分析：（1）觀察一系列等式，得出第8個(gè)等式；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律寫出即可；
（3）利用完全平方公式及平方差公式化簡，去括號(hào)合并即可證明．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：第8個(gè)等式為：8²+9²+72²=73²；
故答案為：8²+9²+72²=73²；
（2）歸納總結(jié)得：n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，n為正整數(shù)；
（3）理由：n²+（n+1）²=n²+n²+2n+1=2n²+2n+1，[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²=（n²+n+1+n²+n）（n²+n+1-n²-n）=2n²+2n+1，
∴n²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²，
即n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，
則（2）中的等式成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．