Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，D是⊙O上一點(diǎn)，CD=CB，連AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：∠BCD=2∠ABD；
（3）求證：E是△BCD的內(nèi)心；
（4）若∠BCD=60°，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
在△OCD和△OCB中，
，
∴△OCD≌△OBC（SSS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC是⊙O的切線，
∴OB⊥BC，
即∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）證明：∵CD與BC都是⊙O的切線，
∴OC⊥BD，OB⊥BC，∠OCD=∠OCB=∠BCD，
∴∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OCB=∠ABD，
∴∠BCD=2∠ABD；

（3）證明：∵OC⊥BD，
∴=，
∴∠DBE=∠BOE，
∵∠BOE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠BOE，
∴∠DBE=∠CBD，
∵∠OCD=∠OCB，且點(diǎn)E在OC上，
∴點(diǎn)E是△BCD的角平分線的交點(diǎn)，
即點(diǎn)E到△BCD的三邊的距離相等；
∴E是△BCD的內(nèi)心；

（4）解：∵∠BCD=60°，CD=CB，
∴△BCD是等邊三角形，
∵點(diǎn)E是△BCD的角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是△BCD的中線的交點(diǎn)，
∴=．
分析：（1）首先連接OD，易證得△OCD≌△OBC，又由BC是⊙O的切線，即可證得CD是⊙O的切線；
（2）由切線長(zhǎng)定理，可得∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，即可證得∠OCB=∠ABD=∠BCD；
（3）由垂徑定理易證得=，由圓周角定理可得∠DBE=∠BOE，繼而可得點(diǎn)E是△BCD的角平分線的交點(diǎn)，即可得E是△BCD的內(nèi)心；
（4）易得△BCD是等邊三角形，則可知E是△ABC的中線的交點(diǎn)，即可求得的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、圓的內(nèi)心的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．