Question

如圖，一次函數(shù)y=-

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，延長PC交反比例函數(shù)y=

k

x

（x＜0）的圖象于點(diǎn)Q，且

QC

OC

=

1

2

．
（1）求k的值；
（2）連結(jié)OP、AQ，求證：四邊形APOQ是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由一次函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定C，Q的坐標(biāo)，將Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出k的值．
（2）由（1）可分別確定QC=CP，AC=OC，且QP垂直平分AO，故可證明四邊形APOQ是菱形．

解答：（1）解：∵一次函數(shù)y=-

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
令y=0，得x=-4，即A（-4，0）
由P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸可知C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，0），
又∵

QC

OC

=

1

2

，
∴QC=1，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得：1=

k

-2

，
∴k=-2；

（2）證明：由（1）可知QC=PC=1，AC=CO=2，
∴四邊形APOQ是平行四邊形，
∵A0⊥PQ
∴四邊形APOQ是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，又結(jié)合了幾何圖形進(jìn)行考查，屬于綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定難度．