【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸直線x=交x軸于點D.

(1)求m的值;

(2)在拋物線的對稱軸上找出點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,直接寫出P點的坐標(biāo);

(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,與x軸相交于點H,連接CF、BF、OE,當(dāng)四邊形CDBF的面積最大時,請你說明四邊形OCFE的形狀.

【答案】(1)(2)P1,),P2,﹣),P3,4)(3)平行四邊形

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)對稱軸公式,可得m的值;

(2)根據(jù)等腰三角形的定義,可得P點坐標(biāo);

(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得EF的長,根據(jù)三角形的面積公式,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得n的值,根據(jù)平行四邊形的判定,可得答案.

試題解析:(1)∵對稱軸是直線x=,

∴﹣=

∴m=;

(2)由勾股定理,得

CD=,當(dāng)CD=DP=時,P(,),(,﹣),

當(dāng)CD=CP時,設(shè)P點坐標(biāo)為(,b),

=

解得b=4,P(,4),

綜上所述:P1,),P2,﹣),P3,4);

(3)四邊形OCFE是平行四邊形,

由拋物線y=﹣x2+x+2,

令y=0,﹣ x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,

∴B(4,0),A(﹣1,0),

當(dāng)x=0時,y=2,即C(0,2),

設(shè)BC的解析式為y=kx+b,把B(4,0),C(0,2)代入,得

,解得,

直線BC解析式為y=﹣x+2.

點F在拋物線上,設(shè)F的坐標(biāo)為(n,﹣ n2+n+2),

點E在BC上,E點的坐標(biāo)為(n,﹣ n+2),

EF=FH﹣EH=﹣n2+2n,

=BD·CO=×(4﹣1.5)×2=, =EF·OB=×4×(﹣n2+2n)=﹣n2+4n,

=﹣n2+4n+=﹣(n﹣2)2+,

當(dāng)n=2時,四邊形CDBF的面積最大,此時EF=﹣n2+2n=2,EH=﹣n+2=1,OH=2,OE==

∵OC=EF=2,OC∥EF,

∴四邊形OCFE是平行四邊形.

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