(2009•臨沂)如圖,拋物線經(jīng)過(guò)A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點(diǎn).
(1)求出拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似?若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大,求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)A(4,0),B(1,0),可設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式,再把C(0,-2)代入即可;
(2)∵△OAC是直角三角形,以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與其相似,由于點(diǎn)P可能在x軸的上方,或者下方,分三種情況,分別用相似比解答;
(3)過(guò)D作y軸的平行線交AC于E,將△DCA分割成兩個(gè)三角形△CDE,△ADE,它們的底相同,為DE,高的和為4,就可以表示它們的面積和,即△DCA的面積,運(yùn)用代數(shù)式的變形求最大值.
解答:解:(1)∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0,-2),
設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2.
將A(4,0),B(1,0)代入,
,
解得,
∴此拋物線的解析式為y=-x2+x-2.

(2)存在.
如圖,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
當(dāng)1<m<4時(shí),
AM=4-m,PM=
又∵∠COA=∠PMA=90°,
∴①當(dāng)==2時(shí),△APM∽△ACO,
=2,即|4-m|=2(),
∴4-m=m2+5m-4,
∴m2-6m+8=0,
∴(m-2)(m-4)=0,
解得:m1=2,m2=4(舍去)
∴P(2,1)
②當(dāng),△APM∽△CAO,
那么有:2|4-m|=
∴2(4-m)=-m2+m-2,
∴m2-9m+20=0,
∴(m-4)(m-5)=0,
解得:m1=4(舍去),m2=5(舍去),
∴當(dāng)1<m<4時(shí),P(2,1),
類似地可求出當(dāng)m>4時(shí),P(5,-2),
當(dāng)m<1時(shí),P(-3,-14),
當(dāng)P,C重合時(shí),△APM≌△ACO,P(0,-2).
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)或(0,-2);

(3)如圖,設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-t2+t-2.
過(guò)D作y軸的平行線交AC于E.
由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2.
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t-2).
∴DE=-t2+t-2-(t-2)=-t2+2t.
∴S△DAC=×(-t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4.
∴當(dāng)t=2時(shí),△DAC面積最大.
∴D(2,1).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了拋物線解析式的求法,拋物線與相似三角形的問(wèn)題,坐標(biāo)系里表示三角形的面積及其最大值問(wèn)題,要求會(huì)用字母代替長(zhǎng)度,坐標(biāo),會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理變形.
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