Question

在不等邊△ABC中，AB、AC的垂直平分線PM、PN交于點(diǎn)P，∠PBC、∠PCB的角平分線交與Q點(diǎn)，QR⊥BC于點(diǎn)R．求證：P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：欲證明P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上，只需證得直線PQ經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)R即可．

解答：證明：∵AB，AC的垂直平分線PM，PN交與點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P是不等邊△ABC的外接圓圓心，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠PBC、∠PCB的平分線交與Q點(diǎn)，
∴∠QBR=

1

2

∠PBC，∠QCR=

1

2

∠PCB，
∴∠QBR=∠QCR，
∴QB=QC．
∵QR⊥BC，
∴RB=RC，
∴點(diǎn)P，Q，R在線段BC的垂直平分線上，即P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．