Question

20．如圖，直線MN交⊙O于點(diǎn)A、B，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于點(diǎn)E．
（1）DE與⊙O有何位置關(guān)系？說明理由；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2，證出∠1=∠3，得出MN∥OD，證出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切線；
（2）連接CD，由圓周角定理得出∠ADC=90°，由勾股定理求出AD，證明△ADC∽△AED，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，求出直徑AC，即可得出⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接CD，如圖2所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED=90°，
∴∠ADC=∠AED，
又∵∠2=∠3，
∴△ADC∽△AED，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$即$\frac{AC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=10（cm），
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=10cm，
即⊙O的半徑為5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．