Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB弧上一點(diǎn)，AP平分∠BAC，AB=3，AC=1，則PB=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AC，BP交于D，由AB是⊙O的直徑，得到∠APB=∠ACB=90°，求得∠APD=∠DCB=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAP=∠BAP，推出△ADP≌△ABP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=PB，AD=AB=3，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)AC，BP交于D，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=∠ACB=90°，
∴∠APD=∠DCB=90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠BAP，
在△ADP與△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\\{∠APD=∠APB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABP，
∴PD=PB，AD=AB=3，
∴CD=AD-AC=2，
∵∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．