Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，DC是圓O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，AD⊥DC垂足為D，且與圓O相交于點(diǎn)E．
（1）求證：∠DAC=∠BAC，
（2）若圓O的直徑為5cm，EC=3cm，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，推出OC⊥DC，求出AD∥OC，得出∠DAC=∠BAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）根據(jù)∠DAC=∠BAC推出EC=BC=3，在△ACB中根據(jù)勾股定理求出AC即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：∵∠DAC=∠BAC，
∴EC=BC=3，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=

52-32

=4，
答：AC的長(zhǎng)是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，平行線性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，難度適中．