【題目】如圖,△ABC是邊長為3的等邊三角形,P是AB邊上的一個動點,由A向B運動(P不與A、B重合),Q是BC延長線上一動點,與點P同時以相同的速度由C向BC延長線方向運動(Q不與C重合),
(1)當∠BPQ=90°時,求AP的長;
(2)過P作PE⊥AC于點E,連結(jié)PQ交AC于D,在點P、Q的運動過程中,線段DE的長是否發(fā)生變化?若不變,求出DE的長度;若變化,求出變化范圍.
【答案】(1)AP=1;(2)線段DE的長度不會改變;DE=1.5.
【解析】
(1)作PF∥BC交AC于F,由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△APF是等邊三角形,可證△PFD≌△QCD,由直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論;
(2)作QF⊥AC,交直線AC的延長線于點F,連接QE,PF,由點P、Q做勻速運動且速度相同,可知AP=CQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△CQF,再由AE=CF,PE=QF且PE∥QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形,進而可得出AC =EC+AE=CE+CF=EF,故DE=AC,由等邊△ABC的邊長為3可得出DE=1.5即可.
解:(1)作PF∥BC交AC于F,如圖1所示:
∴∠APF=∠B,∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠CQD,∠PFD=∠QCD.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,AB=BC=AC.
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°,
∴△APF是等邊三角形,
∴AP=AF=PF.
∵Q與點P同時出發(fā),速度也相同,
∴AP=CQ,
∴PF=CQ,
∴在△PFD和△QCD中,
,
∴△PFD≌△QCD(ASA),
∴FD=CD.
∵∠APD=90°,且∠A=60°,
∴∠PDA=30°,
∴AD=2AP,
∴AD=2AF.
∵AF+FD=2AF,
∴FD=AF.
∴AF=FD=CD.
∴AF=AC.
∵AC=3,
∴AP=AF=1;
(2)當點P、Q同時運動且速度相同時,線段DE的長度不會改變.DE=1.5.理由如下:
作QF⊥AC,交直線AC的延長線于點F,連接QE,PF,如圖2所示:
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,PE∥QF,
∵點P、Q速度相同,
∴AP=CQ,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FCQ=60°,
在△APE和△CQF中,
∵∠AEP=∠CFQ=90°,
∴∠APE=∠CQF,
∴在△APE和△CQF中,
,
∴△APE≌△CQF(AAS),
∴AE=CF,PE=QF,
∴四邊形PEQF是平行四邊形,
∴DE=EF,
∴AC =EC+AE=CE+CF=EF,
∴DE=AC,
又∵AC=3,
∴DE=1.5,
∴點P、Q同時運動且速度相同時,線段DE的長度不會改變.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC中,點D在線段AB上,點E在線段CB延長線上,且BE=CD,EP∥AC交直線CD于點P,交直線AB于點F,∠ADP=∠ACB.
(1)圖1中是否存在與AC相等的線段?若存在,請找出,并加以證明,若不存在,說明理由;
(2)若將“點D在線段AB上,點E在線段CB延長線上”改為“點D在線段BA延長線上,點E在線段BC延長線上”,其他條件不變(如圖2).當∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2時,求線段PE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為4,D是直線BC上任一點,線段DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE,連接CE.
(1)當點D是BC的中點時,如圖1,判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系 ;
(2)當點D是BC邊上任一點時,如圖2,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;
(3)當點D是BC延長線上一點且CD=1時,如圖3,求線段CE的長.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
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【題目】已知二次函數(shù),
畫出二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說明,當取何值時,圖象位于上方?
請說明經(jīng)過怎樣平移函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象.
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【題目】如圖,點D,E,F分別在等邊三角形ABC的三邊上,且DE⊥AB,EF⊥BC,FD⊥AC,過點F作FH⊥AB于H,則的值為_________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點為 A(2,2),B(5,3),C(3,5).
(1)請作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1,并寫出點A的對稱點A1的坐標;
(2)點M是第一象限內(nèi)一點(不與點A重合),且M點的橫、縱坐標都為整數(shù).
①若,請直接寫出一個滿足條件的M點的坐標;
②若,請直接寫出一個滿足條件的M點的坐標;
(3)將△A1B1C1向右平移n個單位長度得到△A2B2C2,若△ABC與△A2B2C2關(guān)于某條直線l對稱,則直線l與x軸交點的橫坐標為 (用含n的式子表示).
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【題目】已知銳角∠AOB如圖,(1)在射線OA上取一點C,以點O為圓心,OC長為半徑作,交射線OB于點D,連接CD;
(2)分別以點C,D為圓心,CD長為半徑作弧,交于點M,N;
(3)連接OM,MN.
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN,則∠AOB=20°
C. MN∥CDD. MN=3CD
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【題目】在研究相似問題時,甲、乙同學的觀點如下:
甲:將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張,得到新三角形,它們的對應邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張,得到新的矩形,它們的對應邊間距均為1,則新矩形與原矩形相似.
對于兩人的觀點,下列說法正確的是( )
A.甲對,乙不對 B.甲不對,乙對 C.兩人都對 D.兩人都不對
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