Question

如圖，已知拋物線y₁=-x²+bx+c（a≤O）與直線AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4）；將拋物線y₁沿y軸翻折得到拋物線y₂且交x軸于點(diǎn)C．
（1）求直線AB與拋物線y₁的表達(dá)式；
（2）求拋物線y₂的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線y₂上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于Q，以PQ為邊作正方形PQMN；設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，正方形PQMN的周長(zhǎng)最長(zhǎng)；
（4）在滿足第（3）問的前提下，當(dāng)m=1時(shí)，若點(diǎn)E是拋物線y₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使得以PQ為邊，點(diǎn)P、Q、E、F頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-4，0）、B（0，4）分別代入拋物線y₁=-x²+bx+c（a≤O）與直線AB：y=kx+l，求出b，c，k，l的值即可；
（2）因?yàn)閽佄锞�y₁=-x²+bx+c（a≤O）與拋物線y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，A（-4，0），所以可求出c的值，進(jìn)而求出a的值，問題得解；
（3）設(shè)點(diǎn)p（m，-m²+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），所以PQ=（-m²+3m+4）-（-m+4）=-m²+4m，所以正方形PQMN的周長(zhǎng)=4PQ=-4（m-2）²+16（0＜m＜4），利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)m為何值時(shí)，正方形PQMN的周長(zhǎng)最長(zhǎng)；
（4）存在，當(dāng)以PQ為邊時(shí)，要使四邊形EFQP是平行四邊形，需滿足EF∥PQ，EF=PQ；以PQ為邊時(shí)，要使四邊形FEQP是平行四邊形，需滿足EF∥PQ，EF=PQ，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵已知拋物線y₁=-x²+bx+c（a≤O）與直線AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4），
∴

-16-4b+c=0 c=4

，

-4k+l=0 l=4

．
∴b=-3，k=1．
∴y₁=-x²-3x+4；AB：y=x+4；

（2）∵拋物線y₁=-x²+bx+c（a≤O）與拋物線y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，A（-4，0），
∴C（4，0），a=-1．
設(shè)y₂=-x²+nx+c（a≤O），由于y₂過點(diǎn)C（4，0），
∴-16+4n+4=0，
解得：n=3，
∴y₂=-x²+3x+4（a≤O）；

（3）∵直線BC：y=kx+b過點(diǎn)C（4，0），B（0，4），
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
設(shè)點(diǎn)p（m，-m²+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），
∴PQ=（-m²+3m+4）-（-m+4）=-m²+4m，
∴正方形PQMN的周長(zhǎng)=4PQ=-4（m-2）²+16（0＜m＜4），
∴當(dāng)m=2時(shí)，周長(zhǎng)最長(zhǎng)；

（4）存在，理由如下：
當(dāng)m=1時(shí)，y_P=6，y_Q=3，
∴P（1，6），Q（1，3），PQ=y_P-y_Q=6-3=3，
以PQ為邊時(shí)，要使四邊形EFQP是平行四邊形，需滿足EF∥PQ，EF=PQ．
設(shè)點(diǎn)E（n，-n²-3n+4），F(xiàn)（n，n+4）（n≤0），
∴EF=（-n²-3n+4）-（n+4），
∴-n²-4n=3，
∴n=-1或-3，
∴F₁（-1，3），F(xiàn)₂（-3，1），
以PQ為邊時(shí)，要使四邊形FEQP是平行四邊形，需滿足EF∥PQ，EF=PQ．
∴EF=（n+4）-（-n²-3n+4）=n²+4n，
∴n²+4n=3，
∴n=-2-

7

或-2+

7

（舍去）．
∴F₃（-2-

7

，2-

7

），
即：存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)P、Q、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形：
F₁（-1，3），F(xiàn)₂（-3，1），F(xiàn)₃（-2-

7

，2-

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄清線段ME長(zhǎng)度的函數(shù)意義是解題的關(guān)鍵．